\documentclass[%
version=last,%
%a4paper,landscape,twocolumn,%
a5paper,%twoside,%
12pt,%
bibliography=totoc,%
index=totoc,%
%titlepage=no,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
%openany,%
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]%
%{scrbook}
{scrartcl}              

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{multicol}

%\pagestyle{empty}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markleft{#1}} % used with scrartcl
\usepackage{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
\clearscrheadings
\refoot{Galois Teorisi 2017--8}
\lofoot{\leftmark} % needs \sectionmark redefined as above in scrartcl
\ofoot{\pagemark}

\usepackage{moredefs,lips}
%\makeindex
%\usepackage{makeidx}

\usepackage[perpage,symbol]{footmisc}
%\renewcommand{\captionformat}{. }

%\usepackage{chngcntr}
%\counterwithout{figure}{chapter}
%\counterwithout{table}{chapter}

\usepackage{graphicx} % allows \rotatebox
\usepackage{rotating}
\usepackage{verbatim}

\usepackage{relsize} % Here \smaller scales by 1/1.2; \relscale{X} scales by X

\renewenvironment{quote}{\begin{list}{}
{\relscale{.90}\setlength{\leftmargin}{0.05\textwidth}
\setlength{\rightmargin}{\leftmargin}}
\item\relax}
{\end{list}}

\renewenvironment{quotation}{\begin{list}{}%
{\relscale{.90}\setlength{\leftmargin}{0.05\textwidth}
\setlength{\rightmargin}{\leftmargin}
\setlength{\listparindent}{1em}
\setlength{\itemindent}{\listparindent}
\setlength{\parsep}{\parskip}}
\item\relax}
{\end{list}}

\usepackage{pstricks,pst-node,pst-plot,pst-math,pst-eucl}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,bm,upgreek,stmaryrd}

\DeclareMathOperator{\characteristic}{char}
\newcommand{\Char}[1]{\characteristic(#1)}
\DeclareMathOperator{\Fixfield}{Sab}
\newcommand{\Fix}[1]{\Fixfield(#1)}
\DeclareMathOperator{\lcm}{ekok}

\DeclareMathOperator{\der}{der}
\renewcommand{\deg}{\der}
\DeclareMathOperator{\ebob}{ebob}
\renewcommand{\gcd}{\ebob}

%\swapnumbers
\newtheorem{theorem}{Teorem}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Sonu\c c}
\newtheorem{postulate}[theorem]{Postulat}
\newtheorem{Eisenstein}[theorem]{Eisenstein Kriteri}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Al\i\c st\i rma}
\newtheorem{definition}[theorem]{Tan\i m}
\newtheorem{example}[theorem]{\"Ornek}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{Not}

%\newcommand{\Theorem}[1]{Theorem \ref{#1}}
%\newcommand{\Theorems}[1]{Theorems \ref{#1}}

%\allowdisplaybreaks
\DeclareMathOperator{\Endo}{End}
\newcommand{\End}[1][V,+]{\Endo(#1)}

\DeclareMathOperator{\identity}{id} % gives weird spacing
\newcommand{\id}[1][V]{\identity_{#1}}
%\newcommand{\id}[1][V]{\mathsf{id}_{#1}}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\divides}{\mid}
\newcommand{\bigdivides}{\mathrel{\left.\vphantom{\frac xx}\right|}}
\newcommand{\ndivides}{\nmid}
\newcommand{\gpgen}[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand{\euphi}{\upvarphi}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\pincluded}{\subset}
\renewcommand{\vec}[1]{\bm{#1}}

\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\F}[1][p]{\mathbb F_{#1}}
\newcommand{\units}[1]{#1{}^{\times}}
%\DeclareMathOperator{\dee}{d}
\renewcommand{\setminus}{\smallsetminus}
\DeclareMathOperator{\automorphisms}{Otom}
\newcommand{\Aut}[1]{\automorphisms(#1)}
\DeclareMathOperator{\genlin}{GL}
\newcommand{\alg}[1]{#1{}^{\mathrm{alg}}}
\DeclareMathOperator{\symmetric}{Sym}
\newcommand{\Sym}[1][n]{\symmetric(#1)}

\newcommand{\mi}{\,\mathrm i\,}
\newcommand{\Zmod}[1][n]{\Z_{#1}}

\newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;}

\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
%\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
%\newcommand{\gid}{\mathrm e}

\usepackage[turkish]{babel}
%\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{polutonikogreek}{#1}}
%\usepackage{gfsporson} % this conflicts with bm, not allowing a boldface digit 0
%\usepackage{gfsneohellenic} % so does this, more so, since it changes the digits anyway
%\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{polutonikogreek}{\relscale{0.9}\textporson{#1}}}

\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\enquote}[1]{``#1''}

\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\size}[1]{\abs{#1}}
\newcommand{\ord}[1]{\abs{#1}}


\usepackage{hfoldsty}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{url}

\begin{document}

\title{Galois Teorisi}
\author{David Pierce}
\date{6 Temmuz 2018}
\publishers{Matematik B\"ol\"um\"u, MSGS\"U\\
%Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\url{mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}}

\maketitle
\thispagestyle{empty}

Bu notlar, bir lisans Galois kuram\i\ dersinin asgari i\c ceri\u gi
teklifidir.
Her kan\i tlanmam\i\c s teoremi kan\i tlamak
bir al\i\c st\i rmad\i r.

\tableofcontents

\section{Halkalar}

\begin{definition}
Bu notlarda her \textbf{halka,}
de\u gi\c smeli ve birimli bir halkad\i r.
\end{definition}

\begin{postulate}
  \textbf{Tamsay\i lar,} s\i ral\i\ bir halkay\i\ olu\c sturur.
  Bu s\i ral\i\ halkan\i n pozitif elemanlar\i, iyis\i ral\i d\i r.
\end{postulate}

\begin{definition}
  Tamsay\i lar halkas\i\ $\Z$'dir,
  \begin{align*}
    \{x\in\Z\colon x>0\}&=\N,&
    \{x\in\Z\colon x\geq 0\}=\upomega.
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}[B\"olme]
$\Z$'de
e\u ger $b\neq0$ ise, o zaman her
\begin{equation}\label{eqn:sys}
  a=bx+y\And 0\leq y<\abs b
\end{equation}
sistemi \c c\"oz\"ulebilir.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\upomega\cap\{a-bx\colon x\in\Z\}=A$ olsun.
  Bu k\"ume
  $\upomega$ iyis\i ralanm\i\c s k\"umesinin
  bo\c s olmayan bir altk\"umesi oldu\u gundan
  $A$'n\i n $d$ en k\"u\c c\"uk eleman\i\ vard\i r.
  O zaman bir $c$ tamsay\i s\i\ i\c cin $d=a-bc$,
  dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    a=bc+d.
  \end{equation*}
  Ayr\i ca $d\geq0$
  (\c c\"unk\"u $d\in\upomega$),
  dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    0\leq d<\abs b,
  \end{equation*}
  \c c\"unk\"u de\u gilse $d\geq\abs b$,
  ve sonu\c c olarak
  \begin{equation*}
    0\leq d-\abs b=a-bc-\abs b=a-b(c\pm1),
  \end{equation*}
  dolay\i s\i yla $d-\abs b$,
  $A$'n\i n $d$'den k\"u\c c\"uk olan bir eleman\i d\i r,
  ki bu imk\^ans\i zd\i r.
  B\"oylece $(c,d)$, verilen \eqref{eqn:sys} sisteminin \c c\"oz\"um\"ud\"ur.
\end{proof}

\begin{corollary}
  $\Z$'de en b\"uy\"uk ortak b\"olenler bulmak i\c cin
  \textbf{\"Oklid Algoritmas\i} kullan\i labilir ve
  $(a,b)\neq(0,0)$ ise
  \begin{equation*}
  ax+by=\gcd(a,b)
\end{equation*}
\textbf{B\'ezout Denklemi}
\c c\"oz\"ulebilir.
\end{corollary}

\begin{definition}
  $R$ bir halka, $a\in R$ ve $b\in R$ olsun.  O zaman
  \begin{align*}
    (a)&=\{ax\colon x\in R\},&&\textbf{(ideal)}\\
    b+(a)&=\{b+x\colon x\in(a)\},&&\textbf{(e\c sk\"ume)}\\
    R/(a)&=\{x+(a)\colon x\in R\}.&&\textbf{(b\"ol\"um)}
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
$R/(a)$ iyitan\i mlanm\i\c s bir halkad\i r,
  ve
  \begin{equation*}
    x\mapsto x+(a)
  \end{equation*}
g\"ondermesi,
  $R$'den $R/(a)$ b\"ol\"um\"une giden
    bir homomorf\/izim\-dir.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Her $n$ sayma say\i s\i\ i\c cin
    \begin{enumerate}[i)]
    \item
      $\Z/(n)$'nin en \c cok $n$ tane eleman\i\ vard\i r,
      ve asl\i nda $k\in\upomega$ ise
      \begin{equation*}
        \Z/(n)=\{x+(n)\colon k\leq x<k+n\};
      \end{equation*}
    \item
      $\Z/(n)$'nin en az $n$ tane eleman\i\ vard\i r,
      ve asl\i nda $k\in\upomega$ ise
      \begin{equation*}
        0\leq i<j<n\implies k+i+(n)\neq k+j+(n).
      \end{equation*}
    \end{enumerate}
  \end{theorem}

\begin{remark}
  Teoremde normalde $k=0$ veya
  \begin{equation*}
    \begin{cases}
      n \text{ \c cift ise } &k=1-n/2,\\
      n \text{ tek ise } &k=(1-n)/2.
    \end{cases}
  \end{equation*}
  Ayr\i ca $x+(n)$, $x$ olarak yaz\i labilir.
  \"Orne\u gin
  \begin{gather*}
    \Z/(4)=\{0,1,2,4\}=\{-1,0,1,2\},\\
    \Z/(5)=\{0,1,2,3,4\}=\{-2,-1,0,1,2\}.
  \end{gather*}
  Bunlar\i n $\Z$'nin althalkas\i\ olmad\i\u g\i\ hat\i rlanmal\i.
\end{remark}

  \begin{definition}
    E\u ger bir $R$ halkas\i nda $ax=b$ denklemi \c c\"oz\"ulebilirse,
    o zaman $a$, $b$'yi \textbf{b\"oler,} ve
    \begin{equation*}
      a\divides b
    \end{equation*}
yaz\i l\i r.
Ayr\i ca
\begin{equation*}
  \units R=\{x\in R\colon x\divides 1\},
\end{equation*}
ve bunun elemanlar\i,
$R$'nin \textbf{birimleridir.}
E\u ger $\units R=R\setminus\{0\}$ ise,
o zaman $R$ bir \textbf{cisimdir.}
  \end{definition}

  \begin{theorem}\label{thm:bx+cy}
    $a\divides b$ ve $a\divides c$ ise $a\divides bx+cy$.
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
$\units R$,
\c carpmal\i\ bir gruptur.
  \end{theorem}

  \begin{definition}
    Bir halkan\i n $0$ veya birim olmayan bir $\pi$ eleman\i\ i\c cin,
    \begin{compactitem}
      \item
      e\u ger
      \begin{equation*}
        \pi=ab\And a\ndivides 1\implies b\divides 1
      \end{equation*}
      gerektirmesi sa\u glan\i rsa,
      $\pi$ \textbf{indirgenemezdir;}
    \item
      e\u ger
      \begin{equation*}
        \pi\divides ab\And \pi\ndivides a\implies \pi\divides b
      \end{equation*}
      gerektirmesi sa\u glan\i rsa,
      $\pi$ \textbf{asald\i r.}
    \end{compactitem}
\end{definition}

  \begin{remark}
    \"Oklid'in tan\i m\i na g\"ore asal olan say\i lar\i,
    pozitif indirgenemez tamsay\i lard\i r.
  \end{remark}
  
  \begin{theorem}
    \.Indirgenemez tamsay\i lar asald\i r.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    $\Z$'de $\pi$ indirgenemez, $\pi\divides ab$,
    ama $\pi\ndivides a$ olsun.
    O zaman $\gcd(\pi,a)=1$ oldu\u gundan
    \begin{equation*}
      \pi x+ay=1
    \end{equation*}
    B\'ezout denklemi \c c\"oz\"ulebilir,
    ve bu durumda
    \begin{equation*}
      \pi bx+aby=b.
    \end{equation*}
    Teorem \ref{thm:bx+cy} sayesinde
    $\pi\divides b$.
  \end{proof}

  \section{Sonlu cisimler}

  \begin{theorem}
    $n$ sayma say\i s\i\ olmak \"uzere
    \begin{equation*}
\text{$n$ asald\i r}\iff\text{$\Z/(n)$ bir cisimdir.}
    \end{equation*}
  \end{theorem}

  \begin{definition}
    $\Z$'de
    her pozitif $p$ asal\i\ i\c cin
    $\Z/(p)$ cismi
        \begin{equation*}
      \F
    \end{equation*}
    olarak yaz\i l\i r.
  \end{definition}

  \begin{theorem}
    Her cisim, altcisimlerinden her biri \"uzerinde bir vekt\"or uzay\i d\i r.
  \end{theorem}

  \begin{corollary}
    Her $K$ sonlu cismine
    bir $\F$ cismi g\"om\"ulebilir,
    ve bir $n$ sayma say\i s\i\ i\c cin
    \begin{equation*}
      \size K=p^n.
    \end{equation*}
  \end{corollary}

  \begin{definition}
   $n$ sayma say\i s\i\ olmak \"uzere $\Z/(n)$ halkas\i n\i n
    toplamal\i\ grubu
    \begin{equation*}
      \Zmod
    \end{equation*}
    olarak yaz\i ls\i n.
  \end{definition}
  
  \begin{theorem}
    $\Z$'de
her pozitif $p$ asal\i\ i\c cin
\begin{equation*}
  \units{\F}\cong\Zmod[p-1].
\end{equation*}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Her asal\i n ilkel k\"okleri vard\i r.
  \end{proof}

  \begin{definition}
    Girdileri bir $K$ cisminden gelen her $(a_0,\dots,a_n)$ listesi i\c cin
    \begin{equation*}
      a_0+a_1X+a_2X^2+\dots+a_nX^n
    \end{equation*}
    veya
    \begin{equation*}
      \sum_{k=0}^na_kX^k
    \end{equation*}
    olarak yaz\i lan bir
    \textbf{polinom} vard\i r.
    Verilen polinomun \textbf{de\u gi\c skeni} $X$'tir, ve
    \textbf{katsay\i lar\i} $a_k$'lard\i r.
    E\u ger verilen polinom $f$
    ve $a_n\neq0$ ise, o zaman $f$'nin \textbf{ba\c skatsay\i s\i}%%%%%
    \footnote{\emph{Vikipedi}'de $f$'nin ``en b\"uy\"uk katsay\i s\i.''}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    $a_n$ olur,
    $f$'nin \textbf{derecesi} $n$'dir ve
    \begin{equation*}
      \deg(f)=n
    \end{equation*}
    yaz\i l\i r.
    Ayr\i ca
    \begin{equation*}
      \deg(0)=-\infty,
    \end{equation*}
    ve $d\in\upomega\cup\{-\infty\}$ ise
    \begin{equation*}
      -\infty+d=-\infty=d-\infty.
    \end{equation*}
    De\u gi\c skeni $X$ olan, katsay\i lar\i\ $K$'dan gelen polinomlar
    \begin{equation*}
      K[X]
    \end{equation*}
    k\"umesini olu\c sturur.
  \end{definition}

  \begin{theorem}
    Her $K$ cismi i\c cin $K[X]$ bir halkad\i r.
    Bu halkada
    \begin{gather*}
      \deg(f+g)\leq\max(\deg(f),\deg(g)),\\
      \deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)
    \end{gather*}
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
    Her polinomlar halkas\i nda e\u ger $g\neq0$ ise, o zaman her
    \begin{equation*}
      f=gx+y\And\deg(y)<\deg(g)
    \end{equation*}
    sistemi \c c\"oz\"ulebilir.
  \end{theorem}

  \begin{corollary}
    $f\in K[X]$ olmak \"uzere
    \begin{equation*}
\text{$f$ indirgenemezdir}\iff\text{$K[X]/(f)$ bir cisimdir.}      
    \end{equation*}
  \end{corollary}

  
  \begin{theorem}
    E\u ger bir $K$ cismi,
    bir $\alpha$ eleman\i n\i\ i\c ceren ba\c ska bir $L$ cisminin altcismi ise,
    o zaman $K[X]$'ten $L$ cismine giden
    bir ve tek bir homomorf\/izim
    \begin{compactenum}[1)]
    \item
      $K$'da \"ozde\c sliktir ve
    \item
      $X$'i $\alpha$'ya g\"onderir.
    \end{compactenum}
    E\u ger bu homomorf\/izim birebir de\u gilse,
    o zaman $K[X]$ halkas\i n\i n,
    ba\c skatsay\i s\i\ $1$ olan
    bir ve tek bir $f$ indirgenemez eleman\i\ i\c cin,
    homomorf\/izmin \c cekirde\u gi $(f)$ idealidir.
  \end{theorem}

  \begin{definition}
    Teoremdeki homomorf\/izim alt\i nda,
    $K[X]$'in imgesi
    \begin{equation*}
      K[\alpha]
    \end{equation*}
 olarak yaz\i l\i r,
ve her $g$ polinomunun imgesi
        \begin{equation*}
      g(\alpha)
    \end{equation*}
 olarak yaz\i l\i r.
    E\u ger $g(\alpha)=0$ ise,
    o zaman $\alpha$, $g$'nin bir \textbf{k\"ok\"ud\"ur.}
    Homomorf\/izmin birebir olmad\i\u g\i\ durumda $f$,
$\alpha$'n\i n \textbf{indirgenemez polinomudur,}
ve bu durumda
\begin{compactenum}[i)]
    \item
      $\alpha$, $K$ \"uzerinde \textbf{cebirseldir,}
      \item
        $\alpha$'n\i n \textbf{derecesi} $\deg(f)$ olur.
\end{compactenum}
$L$ cisminde $f$'nin ba\c ska bir k\"ok\"u,
$\alpha$ ile \textbf{e\c sleniktir.}
  \end{definition}

  \begin{example}
    E\u ger $f\in K[X]$ ve indirgenemez ise,
    o zaman $K[X]/(f)$ cisminde
    $f$'nin $X+(f)$ k\"ok\"u vard\i r.
    E\u ger $\alpha$ da $f$'nin bir k\"ok\"u ise,
    o zaman
    \begin{equation*}
      K[X]/(f)\cong_K K[\alpha].
    \end{equation*}
    Sonu\c c olarak $\alpha$ ve $\beta$ e\c slenik ise
    \begin{equation*}
      K[\alpha]\cong_K K[\beta].
    \end{equation*}
  \end{example}
  
  \begin{example}
    $\C=\R[\mi]$, ve $\mi$'nin indirgenemez polinomu $X^2+1$ olur.    
  \end{example}

  \begin{theorem}\label{thm:base}
    Bir $K$ cismi \"uzerinde $f$,
    bir $\alpha$'n\i n indirgenemez polinomu olsun,
    ve $\deg(f)=n$ olsun.
    O zaman
    $K$ \"uzerinde
    $(1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1})$ listesi,
    $K[\alpha]$ uzay\i n\i n bir taban\i d\i r.
    \"Ozel olarak $K$ sonlu ise
    $K[\alpha]$ cisminin mertebesi
    $\size K^n$ olur.
  \end{theorem}
  
  \begin{example}
    $\F[3]$ \"uzerinde $X^2+1$ indirgenemezdir.
    E\u ger $\alpha$ bu polinomun bir k\"ok\"u ise,
    o zaman
    \begin{equation*}
      \F[3][\alpha]=\{\alpha x+y\colon(x,y)\in\F[3]{}^2\}
    \end{equation*}
    ve $\size{\F[3][\alpha]}=9$.
    Bu cisimde $\alpha^2=-1$.
  \end{example}

  \begin{theorem}\label{thm:bound}
    Bir cisimde,
    derecesi $n$ olan bir polinomun en \c cok $n$ tane k\"ok\"u vard\i r.
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
    Her sonlu cismin birim grubu devirlidir.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    $\units K$ grubunda mertebesi en b\"uy\"uk olan eleman $a$ olsun.
    O zaman
    \begin{align*}
      \size a&\leq\size{\units K},&\gpgen a&\leq\units K.
    \end{align*}
    \c Simdi
    \begin{compactitem}
  \item
    $b$, $\units K$ grubunun rasgele bir eleman\i;
    \item
    $\gcd(\size a,\size b)=d$
    \end{compactitem}
    olsun.
    O zaman
    \begin{align*}
      \size{b^d}&=\frac{\size b}d,&
      \gcd(\size a,\size{b^d})&=1,&
      \gpgen a\cap\gpgen{b^d}&=\gpgen1,
    \end{align*}
    dolay\i s\i yla
    \begin{equation*}
      \size{ab^d}=\lcm\left(\size a,\frac{\size b}d\right)
      =\size a\cdot\frac{\size b}d
    \end{equation*}
    olur.
    Bu mertebe $\size a$'dan b\"uy\"uk olamad\i\u g\i ndan
    $d=\size b$,
    dolay\i s\i yla $\size b$, $\size a$'n\i n bir \c carpan\i d\i r.
    Bu \c sekilde $\units K$ k\"umesinin her eleman\i,
    $x^{\size a}-1$ polinomunun bir k\"ok\"ud\"ur,
    dolay\i s\i yla $\size{\units K}\leq\size a$.
    Bundan dolay\i
    \begin{align*}
      \size a&=\size{\units K},&\gpgen a&=\units K.
    \end{align*}
    \"Ozel olarak $\units K$ devirlidir.
  \end{proof}

  \begin{theorem}
    Mertebesi $p^n$ olan bir $K$ cismi varsa,
    o zaman $K$'nin altcisimleri,
    $m$'nin $n$'nin bir \c carpan\i\ oldu\u gu
    \begin{equation*}
      \{x\in K\colon x^{p^m}=x\}
    \end{equation*}
    k\"umeleridir.
Bu durumda    $\F$ \"uzerinde $X^{p^n}-X$ polinomunun
    indirgenemez \c carpanlar\i n\i n dereceleri,
    $n$'nin \c carpanlar\i d\i r.
  \end{theorem}

  \begin{example}
   $\F[3]$ \"uzerinde
    \begin{multline*}
      X^9-X
      =X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^4+1)\\
=X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+X-1)(X^2-X-1).
    \end{multline*}
        \c Simdi $\alpha$, $X^2+1$ polinomunun bir k\"ok\"u olsun.
        O zaman $\F[3][\alpha]$ cisminde
        yukar\i daki \c carpanlar\i n k\"okleri,
        a\c sa\u g\i daki gibidir.
        \begin{equation*}
          \begin{array}{cc}
            \text{polinom}&\text{k\"okleri}\\\hline
            X^2+1&\pm\alpha\\\hline
            X^2+X-1&\pm\alpha+1\\\hline
            X^2-X-1&\pm\alpha-1\\\hline
          \end{array}
        \end{equation*}
        Ayr\i ca $\alpha+1$'in kuvvetleri,
        a\c sa\u g\i daki gibidir.
        \begin{equation*}
          \begin{array}{c|*8{|c}}
           k&0&       1&      2&        3& 4&        5&     6&7\\\hline
(\alpha+1)^k&1&\alpha+1&-\alpha&-\alpha+1&-1&-\alpha-1&\alpha&\alpha-1
          \end{array}
        \end{equation*}
        B\"oylece $\units{\F[3][\alpha]}=\gpgen{\alpha+1}$.
  \end{example}

  \begin{exercise}
    A\c sa\u g\i daki durumlarda
    $\F$ \"uzerinde $X^{p^n}-X$ polinomunun
    indirgenemez \c carpanlara ayr\i l\i\c s\i n\i\ bulun:
    \begin{compactenum}[a)]
    \item
      $p=2$ ve $n\in\{2,3,4\}$,
    \item
      $p=3$ ve $n=3$,
    \item
      $p=5$ ve $n=2$.
    \end{compactenum}
  \end{exercise}

  
\section{Cisim geni\c slemeleri}

\begin{definition}
  E\u ger $K$, bir $L$ cisminin bir altcismi ise,
  o zaman $(L,K)$ s\i ral\i\ ikilisi,
  bir \textbf{cisim geni\c slemisidir} ve
  \begin{equation*}
    L/K
  \end{equation*}
  olarak yaz\i labilir.
  $K$ \"uzerinde vekt\"or uzay\i\ olarak $L$'nin boyutu
  \begin{equation*}
    [L:K]
  \end{equation*}
  olarak yaz\i l\i r.
  Bu boyutun sonlu oldu\u gu durumda $L/K$ geni\c slemesinin kendisine
  \textbf{sonlu} denir.
    Her durumda $f\in K[X]$
    ve $L$'nin $\alpha_i$ elemanlar\i\ i\c cin
    \begin{equation*}
      f=\prod_{i=1}^n(X-\alpha_i)
    \end{equation*}
    ise, o zaman $f$, $L$'de \textbf{par\c calan\i r.}
    E\u ger ayr\i ca
    \begin{equation*}
      L=K[\alpha_1,\dots,\alpha_n]
    \end{equation*}
    ise, o zaman $K$ \"uzerinde $L$,
    $f$'nin bir \textbf{par\c calan\i\c s cismidir.}
    E\u ger $f$'nin $\alpha_i$ k\"okleri birbirinden farkl\i\ ise,
    o zaman $f$ \textbf{ayr\i labilir.}
    E\u ger $K$ \"uzerinde her indirgenemez polinom ayr\i labilirse,
    o zaman $K$ \textbf{m\"ukemmeldir.}
  \end{definition}

  \begin{example}
    Mertebesi $p^n$ olan sonlu bir $L$ cismi varsa,
    bu cisim $\F$ \"uzerinde $X^{p^n}-X$ polinomunun par\c calan\i\c s cismidir,
    ve bu polinom ayr\i labilir.
    E\u ger $K\included L$ ise, o zaman
    \begin{equation*}
      p^n=\size K^{[L:K]}.
    \end{equation*}
  \end{example}

  \begin{definition}
    E\u ger $K\included L$ ve $\alpha\in L$ ise,
    o zaman $L$'nin altcismi olan,
    $K$'yi kapsayan ve $\alpha$'y\i\ i\c ceren cisimlerin en k\"u\c c\"u\u g\"u
        \begin{equation*}
      K(\alpha)
    \end{equation*}
 olarak yaz\i l\i r.
  \end{definition}

  \begin{remark}
    $K$ \"uzerinde $\alpha$ 
    \begin{compactitem}
      \item
    cebirsel ise $K(\alpha)=K[\alpha]$,
    \item
      cebirsel de\u gilse $K(\alpha)$, $K[\alpha]$'dan b\"uy\"ukt\"ur.
    \end{compactitem}
    \end{remark}

  \begin{example}
        $\F\included L$, $\alpha\in L$,
        $\beta=\alpha^p$ ve
        $K=\F{}(\beta)$ olsun.
        E\u ger $\alpha$, $\F$ \"uzerinde cebirsel de\u gilse,
        o zaman $K$ \"uzerinde
        \begin{compactitem}
          \item
            $X^p-\beta$ polinomu indirgenemez, ve
            \item
        $K[\alpha]$,
              $X^p-\beta$ polinomunun bir par\c calan\i\c s cismidir, ama
\item
  $X^p-\beta$ ayr\i lamaz.
        \end{compactitem}
\end{example}

  \begin{theorem}
    Her $K$ cismi \"uzerinde
    \begin{itemize}
    \item 
      her polinomun par\c calan\i\c s cisimleri vard\i r,
      \item
        bunlar birbirine $K$ \"uzerinde izormorftur.
    \end{itemize}
  \end{theorem}
  
  \begin{theorem}
    Bir $K[X]$ polinomlar halkas\i nda
    bir ve tek bir $f\mapsto f'$ islemi i\c cin
    \begin{gather*}
      a\in K\implies a'=0,\\
      X'=1,\\
      (f+g)'=f'+g',\\
      (fg)'=f'g+fg'.
    \end{gather*}
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
    Bir $f$ polinomu ayr\i labilir ancak ve ancak
    \begin{equation*}
      \gcd(f,f')=1.
    \end{equation*}
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
    Karakteristi\u gi s\i f\i r olan
    (yani $\Q$ cismini kapsayan)
     her cisim m\"ukemmeldir.
  \end{theorem}

  \begin{theorem}
    Karakteristi\u gi $p$ olan
    (yani $\F$ cismini kapsayan)
    bir $K$ cismi m\"ukemmeldir
    ancak ve ancak $K^p=K$ olur.
  \end{theorem}

  \begin{corollary}
    Her sonlu cisim m\"ukemmeldir.
  \end{corollary}
  
  \begin{theorem}
    Her $p$ asal\i\ i\c cin,
    her $n$ sayma say\i s\i\ i\c cin,
    mertebesi $p^n$ olan cisimler vard\i r,
    ve bunlar birbirine izomorftur.
  \end{theorem}

  \begin{definition}
    Mertebesi $p^n$ olan bir cisim
    \begin{equation*}
      \F[p^n]
    \end{equation*}
 olarak yaz\i l\i r.
  \end{definition}

  \begin{corollary}
    $\F$ \"uzerinde $X^{p^n}-X$ polinomunun
    indirgenemez \c carpanlar\i n\i n dereceleri,
    $n$'nin \c carpanlar\i d\i r.
  \end{corollary}

  \section{Cisim otomorf\/izimleri}

  \begin{definition}
  Bir $L$ cisminin otomorf\/izimleri
  \begin{equation*}
    \Aut L
  \end{equation*}
  grubunu olu\c sturur.
  E\u ger $\sigma\in\Aut L$ ve $x\in L$ ise,
  o zaman $\sigma$ alt\i nda $x$'in imgesi
  \begin{equation*}
    x^{\sigma}
  \end{equation*}
  olarak yaz\i ls\i n.
  Tan\i ma g\"ore
  \begin{equation*}
    \bigcap_{x\in K}\{\sigma\in\Aut L\colon x^{\sigma}=x\}=\Aut{L/K}.
  \end{equation*}
  Benzer \c sekilde $G\leq\Aut L$ ise, o zaman
  \begin{equation*}
    \bigcap_{\sigma\in G}\{\sigma\in\Aut L\colon x^{\sigma}=x\}=\Fix G.
  \end{equation*}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Her $L/K$ cisim geni\c slemesi i\c cin
  \begin{enumerate}[i)]
  \item 
    $\Aut{L/K}$, $\Aut L$'nin bir altgrubudur,
    \item
      $\Fix G$, $L$ cisminin bir altcismidir.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{thm:Gal}
    Her $L/K$ cisim geni\c slemesi i\c cin
  \begin{itemize}
  \item
  $\Aut L$'nin $\Aut{L/K}$ altgruplar\i\
    ve
  \item
    $L$'nin $\Fix G$ altcisimleri,
  \end{itemize}
  e\c slenik k\"umeleri olu\c sturur.
  Bir e\c sleme,
  tersi $K\mapsto\Aut{L/K}$ olan
  $G\mapsto\Fix G$ g\"ondermesidir.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\Aut{L/K}=K'$ ve $\Fix G=G'$ olsun.
  O zaman
  \begin{align*}
    K&\included K'',&G&\included G''.
  \end{align*}
\"Ozel bir durum olarak
  \begin{align}\label{eqn:G'}
    G'&\included G''',&K'&\included K'''.
  \end{align}
  E\u ger $K\included F\included L$ ve $G\leq H\leq\Aut L$ ise, o zaman
  \begin{align*}
    F'&\included K',& H'&\leq G'.
  \end{align*}
\"Ozel bir durum olarak
  \begin{align*}
    K'''&\included K',&G'''&\included G'.
  \end{align*}
  \eqref{eqn:G'} kapsamalar\i\ ile kar\c s\i la\c st\i r\i larak
  \begin{align*}
    G'&=G''',&K'&=K'''.
  \end{align*}
  \"Oyleyse
  $\{K'\colon K\included L\}$ ve
  $\{G'\colon G\leq\Aut L]\}$ e\c sleniktir,
    ve bir e\c sleme,
    tersi $K\mapsto K'$ olan $G\mapsto G'$ 
    g\"ondermesidir.
\end{proof}

\begin{definition}
    Bir $G$ i\c cin $K=\Fix G$ ise $L/K$ geni\c slemesi \textbf{Galoisd\i r.}
\end{definition}

\begin{lemma}
  E\u ger
  \begin{compactitem}
    \item
      $L/K$, bir cisim geni\c slemesi,
    \item
      $f\in K[X]$,
    \item
      $L$, $K$ \"uzerinde $f$'nin bir par\c calan\i\c s cismi,
    \item
      $\alpha\in L$ ve $\beta\in L$,
    \item
      $\alpha$ ve $\beta$, $K$ \"uzerinde e\c slenik
  \end{compactitem}
ise, o zaman
  $\Aut{L/K}$ grubunun bir $\sigma$ eleman\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    \alpha^{\sigma}=\beta.
  \end{equation*}
\end{lemma}

\begin{lemma}\label{lem:Ka}
  E\u ger
 $\alpha\in L$ ve $K$ \"uzerinde cebirsel ise, o zaman
  \begin{equation}\label{eqn:Ka'}
    [K':K(\alpha)']\leq[K(\alpha):K].
  \end{equation}
  E\u ger ayr\i ca $\alpha$'n\i n indirgenemez polinomu
  ayr\i labilirse ve $L$'de par\c calan\i rsa,
  o zaman
  \begin{equation}\label{eqn:Ka'=}
    [K':K(\alpha)']=[K(\alpha):K].
  \end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
  $\alpha$'n\i n indirgenemez polinomu $f$, $K'=G$, ve $K(\alpha)'=H$ olsun.
  E\u ger $G$'nin elemanlar\i n\i n ikisi $\sigma$ ve $\tau$ ise,
  o zaman
  \begin{equation*}
  \alpha^{\sigma}=\alpha^{\tau}\iff \alpha^{\sigma\tau\inv}=\alpha\iff
  \sigma\tau\inv\in H\iff H\sigma=H\tau.
  \end{equation*}
  Sonu\c c olarak $H\backslash G$ b\"ol\"um\"unden
  $\{x\in L\colon f(x)=0\}$ k\"umesine giden,
  iyitan\i mlanm\i\c s, birebir bir
\begin{equation*}
  H\sigma\mapsto\alpha^{\sigma}
\end{equation*}
g\"ondermesi vard\i r.
B\"oylece
\begin{equation}\label{eqn:sizes}
  \size{H\backslash G}\leq  \size{\{x\in L\colon f(x)=0\}}.
\end{equation}
Tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
  \size{H\backslash G}=[G:H].
\end{equation*}
Ayr\i ca
\begin{align}\label{eqn:size-deg}
  \size{\{x\in L\colon f(x)=0\}}
  &\leq\deg(f)&&\text{[Teorem \ref{thm:bound}]}\\\notag
  &=[K(\alpha):K]&&\text{[Teorem \ref{thm:base}]}.
\end{align}
Bunlardan dolay\i\ \eqref{eqn:Ka'} e\c sitsizli\u gi \c c\i kar.
E\u ger $f$, $L$'de par\c calan\i rsa,
o zaman son lemma sayesinde g\"onderme \"ortendir,
dolay\i s\i yla \eqref{eqn:sizes} e\c sitsizli\u gi bir e\c sitliktir.
E\u ger ayn\i\ zamanda $f$ ayr\i labilirse,
o zaman \eqref{eqn:size-deg} e\c sitsizli\u gi de bir e\c sitliktir,
ve sonu\c c olarak \eqref{eqn:Ka'=} e\c sitli\u gi \c c\i kar.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:LK}
  E\u ger $L/K$ sonlu ise, o zaman
  \begin{equation}\label{eqn:LK}
\size{\Aut{L/K}}\leq[L:K].    
  \end{equation}
E\u ger $L$,
  $K$ \"uzerinde ayr\i labilir bir polinomun par\c calan\i\c s cismi ise,
  o zaman
  \begin{equation}\label{eqn:LK=}
\size{\Aut{L/K}}=[L:K].    
  \end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
  $K\included F\included L$ ve $F/K$ sonlu olsun.
  Son lemmadan ve $[F:K]$ \"uzerinde t\"umevar\i mdan
  \begin{equation*}
    [K':F']\leq[F:K],
  \end{equation*}
  ve $F=L$ ise \eqref{eqn:LK} e\c sitsizli\u gi \c c\i kar.
  Zira $\alpha\in F\setminus K$ olsun,
  ve t\"umevar\i m hipotezi olarak
  \begin{equation*}
    [K(\alpha)':F']\leq[F:K(\alpha)]
  \end{equation*}
  varsay\i ls\i n.  O zaman
      \begin{align*}
      [K':F']
      &=[K':K(\alpha)'][K(\alpha)':F']
      &&\\
      &\leq[K(\alpha):K][K(\alpha)':F']&&\text{[Lemma \ref{lem:Ka}]}\\
      &\leq[K(\alpha):K][F:K(\alpha)]&&\text{[hipotez]}\\
      &=[F:K].&&
      \end{align*}
      Verilen \"ozel durumda e\c sitsizlikler e\c sitliktir.
\end{proof}

\begin{theorem}
  $L/K$, sonlu bir cisim geni\c slemesi olsun.
  A\c sa\u g\i daki ko\c sullar birbirine denktir.
  \begin{compactenum}[I.]
  \item
    $L/K$ Galois'd\i r.
  \item\sloppy
    $K$ \"uzerinde $L$'nin her eleman\i n\i n indirgenemez polinomu,
    ayr\i labilir ve $L$'de par\c calan\i r.
  \item
    $K$ \"uzerinde $L$, ayr\i labilir bir polinomun
    par\c calan\i\c s cismidir.
  \item
    $\size{\Aut{L/K}}=[L:K]$.
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \begin{asparaenum}
  \item
    $L/K$ Galois ve $\alpha\in L$ olsun.
    $G=K'$ olsun.
    Bir $n$ sayma say\i s\i\ i\c cin,
    $L$'nin baz\i\ birbirinden farkl\i\ olan $\alpha_k$ elemanlar\i\ i\c cin,
    \begin{equation*}
      \{\alpha^{\sigma}\colon\sigma\in G\}=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}.
    \end{equation*}
    \c Simdi
    \begin{equation*}
      \prod_{k<n}(X-\alpha_k)=f
    \end{equation*}
    olsun.
    O zaman $f$ ayr\i labilir ve $L$'de par\c calan\i r.
    Ayr\i ca $G$'nin her eleman\i\
    $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ k\"umesinin bir perm\"utasyonu kurdu\u gundan
    $f$'nin katsay\i lar\i\ $G'$ cismindedir.
    Varsay\i ma g\"ore bu cisim $K$'dir.
  \item
    $K$ \"uzerinde $L$'nin her eleman\i n\i n indirgenemez polinomu,
    ayr\i labilsin ve $L$'de par\c calans\i n.
$L/K$ sonlu oldu\u gundan
\begin{equation*}
  K=K_0\included K_1\included\dots\included K_s=L,
\end{equation*}
\"oyle ki $\ell<s$ olmak \"uzere
$K_{\ell+1}$ cisminin bir $\beta_{\ell}$ eleman\i n\i n
$K$ \"uzerinde $f_{\ell}$ indirgenemez polinomu vard\i r,
ve
$K_{\ell+1}$, $f_0\cdots f_{\ell}$ polinomunun par\c clan\i\c s cismidir.
\item
E\u ger $K$ \"uzerinde $L$, ayr\i labilir bir polinomun
par\c calan\i\c s cismi ise,
o zaman \eqref{eqn:LK=} e\c sitli\u gi \c c\i kar.
\item
Tekrar $G=K'$ olsun.
O zaman
\begin{align*}
  \size{G}
&=\size{\Aut{L/\Fix G}}&&\text{[Teorem \ref{thm:Gal}]}\\
  &\leq[L:\Fix G]&&\text{[Lemma \ref{lem:LK}]}\\
  &\leq[L:K].&&\text{[$K\included\Fix G$]}
\end{align*}
E\u ger \eqref{eqn:LK=} do\u gru ise,
o zaman $\Fix G=K$.\qedhere  
      \end{asparaenum}
\end{proof}

\begin{comment}
  \begin{theorem}
    E\u ger $L$,
    $K$ \"uzerinde ayr\i labilir bir polinomun par\c calan\i\c s cismi ise,
    o zaman $L/K$ Galoisd\i r.
  \end{theorem}

  \begin{proof}GEREKMEZ??
    $K''$ cisminin her eleman\i n\i n
    $K$ cisminin eleman\i\ oldu\u gunu g\"osterece\u giz.
    Varsay\i ma g\"ore $K$ \"uzerinde ayr\i labilir bir $f$ polinomu i\c cin
    ve $L$'nin baz\i\ $\alpha_i$ elemanlar\i\ i\c cin
    \begin{align*}
      f&=\prod_{i=1}^n(X-\alpha_i),&
      L&=K[\alpha_1,\dots,\alpha_n].
    \end{align*}
    K\i saltma olarak $F=K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ olsun.
    Bu cisim \"uzerinde $\alpha_n$'nin
    indirgenemez polinomu, $f$'nin bir $g$ \c carpan\i d\i r.
    \c Simdi $\deg(g)=\ell$ olsun.  O zaman
    \begin{equation*}
      [F(\alpha_n):F]=\ell.
    \end{equation*}
    E\u ger $\beta\in K''$ ise,
    o zaman
    $F$ cisminin baz\i\ $m_i$ elemanlar\i\ ic\c in
    \begin{equation*}
      \beta=\sum_{i=0}^{\ell-1}m_i\alpha_n{}^i.
    \end{equation*}
    Bu durumda $\sigma\in F'$ ise $m_i{}^{\sigma}=m_i$,
    ve ayr\i ca $\sigma\in K'$, dolay\i s\i yla
    \begin{equation*}
      \beta=\sum_{i=0}^{\ell-1}m_i(\alpha_n{}^{\sigma})^i.
    \end{equation*}
    B\"oylece $\alpha_n{}^{\sigma}$,
    $\sum_{i=0}^{\ell-1}m_iX^i-\beta$ polinomunun bir k\"ok\"ud\"ur.
    Ama $g$'nin her $\gamma$ k\"ok\"u i\c cin,
    $F'$ grubunun bir $\sigma$ eleman\i\ i\c cin, $\alpha_n{}^{\sigma}=\gamma$.
    \"Oyleyse $\sum_{i=0}^{\ell-1}m_iX^i-\beta$
    polinomunun en az $\ell$ tane k\"ok\"u vard\i r.
    Polinomun derecesi $\ell$'den kesin k\"u\c c\"uk oldu\u gundan
    polinom s\i f\i rd\i r.
    \"Ozellikle $m_0=\beta$, dolay\i s\i yla $\beta\in F$.
    Benzer \c sekilde $\beta\in K(\alpha_1,\dots,a_{n-2})$ ve saire.
    Sonu\c c olarak $\beta\in K$.
  \end{proof}
\end{comment}
\begin{exercise}
  $\Q$ \"uzerinde $f=X^3-3X+1$ olsun.
  \begin{enumerate}[A.]
    \item
      $\C$ cisminde $f$'nin k\"oklerini bulun.
    \item
      $f$'nin Galois grubunu bulun.
  \end{enumerate}
  \end{exercise}

  \begin{exercise}
    $\Q$ \"uzerinde $X^4-2$ polinomunun par\c calan\i\c s cismini
    ve onun altcisimlerini bulun.
  \end{exercise}

  \begin{theorem}\label{thm}
    E\u ger $L/K$ Galois, $K\included F\included L$, ve
     $F/K$ geni\c slemesi de Galois ise, o zaman
    \begin{equation*}
      \Aut{L/F}\trianglelefteqslant\Aut{L/K}.
    \end{equation*}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Hipoteze g\"ore $\alpha\in F$ ise,
    o zaman $K$ \"uzerinde $\alpha$'n\i n her e\c sleni\u gi $F$'dedir.
    Sonu\c c olarak $\sigma\in\Aut{L/K}$ ise $\alpha^{\sigma}\in F$.
    Bundan dolay\i\ $\tau\in\Aut{L/F}$ ise
    $\tau$ $F$'yi sabitledi\u ginden
    \begin{equation*}
      \alpha^{\sigma\inv\tau\sigma}
      =      \alpha^{\sigma\inv\sigma}=      \alpha.
    \end{equation*}
    B\"oylece  $\sigma\inv\tau\sigma\in\Aut{L/F}$.
  \end{proof}

  \begin{exercise}\label{ex}
    E\u ger $L/K$ Galois, $K\included F\included L$, ve
    \begin{equation*}
      \Aut{L/F}\trianglelefteqslant\Aut{L/K}
    \end{equation*}
    ise, o zaman $F/K$ geni\c slemesinin Galois oldu\u gunu kan\i tlay\i n.
  \end{exercise}

  \section{\.Indirgenemezlik}

  
  \begin{definition}
    E\u ger her $a_k$ katsay\i s\i\ bir tamsay\i\ ve
    \begin{equation*}
      \gcd(a_0,a_1,\dots,a_n)=1
    \end{equation*}
ise
$a_0+a_1X+\dots+a_nX^n$
    polinomuna \textbf{ilkel} denir.
  \end{definition}
  
  \begin{lemma}[Gauss]
    \.Iki ilkel polinomun \c carp\i m\i\ da ilkeldir.
  \end{lemma}

  \begin{proof}
    E\u ger $f$ ilkel ama $fg$ ilkel de\u gilse,
    $g$'nin ilkel olmad\i\u g\i n\i\ g\"osterece\u giz.
    \c Simdi
    \begin{align*}
      f&=\sum_{i=0}^ma_iX^i,&
      g&=\sum_{j=0}^nb_jX^j
    \end{align*}
    olsun.  Ayr\i ca $i>m$ ise $a_i=0$ olsun,
    ve $j>n$ ise $b_j=0$ olsun.  O zaman
    \begin{equation*}
      c_k=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}
    \end{equation*}
    olmak \"uzere
    \begin{equation*}
      fg=\sum_{k=0}^{m+n}c_kX^k.
    \end{equation*}
    E\u ger bu polinom ilkel de\u gilse,
    o zaman bir $p$ asal\i, her $c_k$ katsay\i s\i n\i\ b\"oler.
    O halde $f$ ilkel ise, bir $\ell$ i\c cin $p\ndivides a_{\ell}$,
    ama $i<\ell$ oldu\u gunda $p\divides a_i$.
    B\"oylece
    \begin{equation*}
      p\divides a_0b_{\ell}+a_1b_{\ell-1}+\dots+a_{\ell-1}b_1,
      %\sum_{i=0}^{\ell-1}a_ib_{\ell-i},
    \end{equation*}
    dolay\i s\i yla $p\divides a_{\ell}b_0$, \c c\"unk\"u
    \begin{equation*}
      a_{\ell}b_0=c_{\ell}-(a_0b_{\ell}+a_1b_{\ell-1}+\dots+a_{\ell-1}b_1).
    \end{equation*}
    \c Simdi \"Oklid Lemmas\i'ndan $p\divides b_0$.
    Bundan dolay\i
    \begin{equation*}
      p\divides
      c_{\ell+1}-(a_0b_{\ell+1}+a_1b_{\ell}+\dots+a_{\ell-1}b_2+a_{\ell+1}b_0),
    \end{equation*}
    yani $p\divides a_{\ell}b_1$, ve sonu\c c olarak $p\divides b_1$.
    Bu \c sekilde her $j$ i\c cin $p\divides b_j$,
    dolay\i s\i yla $g$ ilkel de\u gildir.
  \end{proof}

  \begin{theorem}
    Katsay\i lar\i\ tamsay\i\ olan bir polinom
    $\Z$ \"uzerinde indirgenemezse,
    o zaman $\Q$ \"uzerinde de indirgenemez.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Katsay\i lar\i\ tamsay\i\ olan bir $h$ polinomu
    $\Z$ \"uzerinde indirgenemezse,
    o zaman ilkeldir.
    \c Simdi $a_i$, $c_i$, $b_j$, ve $d_j$ tamsay\i\ olmak \"uzere
    \begin{align*}
&      \begin{gathered}
        \gcd(a_i,c_i)=1,\\
        f=\sum_i\frac{a_i}{c_i}X^i,\\
        a=\gcd_ia_i,\\
        c=\lcm_ic_i,
      \end{gathered}
&
      \begin{gathered}
        \gcd(b_j,d_j)=1,\\
        g=\sum_j\frac{b_j}{d_j}X^j,\\
        b=\gcd_jb_j,\\
        d=\lcm_jd_j
      \end{gathered}
    \end{align*}
    olsun.  O zaman $(c/a)f$ ve $(d/b)g$,
    $\Z$ \"uzerinde ve ilkeldir.
    Gauss Lemma sayesinde $(cd/ab)fg$ de ilkeldir.
    E\u ger $fg$'nin
    $\Z$ \"uzerinde olan ve ilkel bir $h$ polinomuna e\c sit oldu\u gunu
    bilirsek,
    o zaman $ab=cd$, dolay\i s\i yla $h=(c/a)f(d/b)g$.
    Sonu\c c olarak $h$ $\Z$ \"uzerinde indirgenemezse,
    $\Q$ \"uzerinde de indirgenemez.
  \end{proof}

  
  \begin{theorem}[Eisenstein Kriteri]
    E\u ger
    \begin{compactitem}
    \item 
      Her $a_k$ tamsay\i,
      \item
        bir $p$ asal\i\ i\c cin
        \begin{compactitem}
        \item
          $p^2\ndivides a_0$, ama
        \item
          $0\leq k<n$ olmak \"uzere
          $p\divides a_k$, ama
        \item
          $p\ndivides a_n$
        \end{compactitem}
    \end{compactitem}
    ise, o zaman
    \begin{equation*}
      a_0+a_1X+\dots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n
    \end{equation*}
    polinomu $\Q$ \"uzerinde indirgenemez.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Verilen polinom $f$ olsun.
    Bunun ilkel oldu\u gunu varsayabiliriz.
    Bu durumda $f$'nin $\Z$ \"uzerinde indirgenemedi\u gini
    kan\i tlamak yeter.
    $\Z$ \"uzerinde
    \begin{align*}
      g&=\sum_{i=0}^nb_iX^i,&
      g&=\sum_{j=0}^nc_jX^j
    \end{align*}
    olmak \"uzere $f=gh$ olsun.
    O zaman $f$ ve $g$ de ilkeldir.
    Ayr\i ca $a_0=b_0c_0$ oldu\u gundan
    $p\divides b_0$ ve $p\ndivides c_0$ varsayabiliriz.
    Bir $\ell$ i\c cin $k<\ell$ ise $p\divides b_k$ olsun.
    E\u ger $\ell=n$ ise,
    $g$ ilkel oldu\u gundan $p\ndivides b_n$,
    dolay\i s\i yla $\deg(g)=n$,
    ve sonu\c c olarak $\deg(h)=0$ ve $h=\pm1$.
    Di\u ger durumda $p\divides a_{\ell}$,
    ama
    \begin{equation*}
      a_{\ell}=b_0c_{\ell}+b_1c_{\ell-1}+\dotsb+b_{\ell}c_0,
    \end{equation*}
    dolay\i s\i yla $p\divides b_{\ell}$.
    T\"umevar\i mdan $k<n$ ise $p\divides b_k$,
    ve yukar\i daki gibi $h=\pm1$.
  \end{proof}

  \begin{example}
    $\Z$'de bir $p$ asal\i\ i\c cin $p\divides d$
    ama $p^2\ndivides d$ olsun, ve
    \begin{equation*}
      f=X^5-d
    \end{equation*}
    olsun.
    O zaman Eistenstein Kriterinden dolay\i\
    $\Q$ \"uzerinde $f$ indirgenemez.
    \c Simdi $\C$'de $\rho$, $f$'nin bir k\"ok\"u olsun ve
    \begin{equation*}
      \zeta=\zeta_5=\exp\frac{2\uppi\mi}5
    \end{equation*}
    olsun.  O zaman $f$'nin k\"okleri,
    $\{\zeta^k\cdot\rho\colon0\leq k<5\}$ k\"umesini olu\c sturur,
    dolay\i s\i yla
    \begin{equation*}
      \Q(\rho,\zeta)
    \end{equation*}
    cismi, $\Q$ \"uzerinde $f$'nin par\c calan\i\c s cismidir.
    Ayr\i ca Eistenstein Kriterinden dolay\i\
    $\Q$ \"uzerinde $X^4+X^3+X^2+X+1$, $\zeta$'n\i n indirgenemez polinomudur,
    \c c\"unk\"u
    \begin{gather*}
      X^4+X^3+X^2+X+1=\frac{X^5-1}{X-1},\\
      \frac{(X+1)^5-1}{(X+1)-1}
      =X^4+5X^3+10X^2+10X+5.
    \end{gather*}
    \c Simdi
    \begin{align*}
      [\Q(\rho,\zeta):\Q]
      &=      [\Q(\rho,\zeta):\Q(\zeta)][\Q(\zeta):\Q]\\
      &=      [\Q(\rho,\zeta):\Q(\rho)][\Q(\rho):\Q],
    \end{align*}
    ama
    \begin{align*}
      [\Q(\zeta):\Q]&=4,&[\Q(\rho):\Q]&=5.
    \end{align*}
    Ayr\i ca $\gcd(4,5)=1$ ve
    \begin{align*}
      [\Q(\rho,\zeta):\Q(\rho)]&\leq[\Q(\zeta):\Q],&
      [\Q(\rho,\zeta):\Q(\zeta)]&\leq[\Q(\rho):\Q].
    \end{align*}
    Bundan dolay\i\
    $[\Q(\rho,\zeta):\Q]=20$,
    dolay\i s\i yla
    \begin{gather*}
      \size{\Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q}}=20,\\
      \size{\Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q(\zeta)}}=5,\\
      \size{\Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q(\rho)}}=4.
    \end{gather*}
    Sonu\c c olarak $\Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q(\zeta)}$ devirlidir,
    ve grubun a\c sik\^ar olmayan her eleman\i\ bir \"urete\c ctir.
  \"Ozellikle
  \begin{equation*}
    \rho^{\tau}=\zeta\cdot\rho\text{ olmak \"uzere }
    \Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q(\zeta)}=\gpgen{\tau}.
  \end{equation*}
  Ayr\i ca $\Q$ \"uzerinde ve $\Q(\rho)$ \"uzerinde,
  $\zeta$'n\i n e\c slenikleri
  $\zeta^2$, $\zeta^4$, $\zeta^8$, ve $\zeta^{16}$ olur,
dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    \zeta^{\sigma}=\zeta^2\text{ olmak \"uzere }
    \Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q(\rho)}=\gpgen{\sigma}.
  \end{equation*}
  \c Simdi $\sigma$ ve $\tau$ tablodaki gibidir, ve
  \begin{table}
    \begin{equation*}
      \begin{array}{c|cc}
        x&\rho&\zeta\\\hline
        x^{\sigma}&\rho&\zeta^2\\
        x^{\tau}&\zeta\cdot\rho&\zeta
      \end{array}
    \end{equation*}
    \caption{$\Q(\rho,\zeta)$'n\i n otomorf\/izmalar\i}
    
    
  \end{table}
  \begin{equation*}
\Aut{\Q(\rho,\zeta)/\Q}=\gpgen{\sigma,\tau}.    
  \end{equation*}
  Teorem \ref{thm} ve Al\i\c st\i rma \ref{ex} sayesinde
  \begin{align*}
    \gpgen{\sigma}&\ntrianglelefteqslant\gpgen{\sigma,\tau},&
    \gpgen{\tau}&\trianglelefteqslant\gpgen{\sigma,\tau}.
  \end{align*}
  Asl\i nda
  \begin{equation*}
    \rho^{\sigma\inv\tau\sigma}=
    \rho^{\tau\sigma}=
    (\zeta\cdot\rho)^{\sigma}=
    \zeta^2\cdot\rho=
    \rho^{\tau^2}
  \end{equation*}
  oldu\u gundan
  \begin{align*}
    \sigma\inv\tau\sigma&=\tau^2,&
    \tau\sigma&=\sigma\tau^2,
  \end{align*}
  dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    \tau^{-k}\sigma\tau^k=\sigma\tau^{-k}.
  \end{equation*}
  Sylow Teoremleri sayesinde
  $\gpgen{\sigma,\tau}$ grubunun
  \begin{compactitem}
  \item
     tek Sylow $5$-altgrubu $\gpgen{\tau}$'dur;
  \item
    Sylow $2$-altgrublar\i,
    $0\leq k<5$ olmak \"uzere $\gpgen{\sigma\tau^k}$'d\i r.
  \end{compactitem}
  Ayr\i ca
  \begin{equation*}
    \sigma\tau^k\sigma\tau^k=\sigma^2\tau^{2k+k}=\sigma^2\tau^{3k}
  \end{equation*}
  oldu\u gundan
  $\gpgen{\sigma\tau^k}$ grubunun tek mertebesi $2$ olan altgrubu
  $\gpgen{\sigma^2\tau^{3k}}$ olur.
  \c Simdi
  \begin{equation*}
    (\zeta^{\ell}\cdot\rho)^{\sigma\tau^k}
    =(\zeta^{2\ell}\cdot\rho)^{\tau^k}
    =\zeta^{2\ell+k}\cdot\rho
  \end{equation*}
  oldu\u gundan
  \begin{align*}
    \Fix{\sigma\tau^k}&=\Q(\zeta^{-k}\cdot\rho),&
    \Fix{\sigma^2\tau^{3k}}&=\Q(\zeta^{-k}\cdot\rho,\zeta+\zeta^4).
  \end{align*}
  $X^5-d$ polinomu i\c cin
  Galois e\c slemesi, \c sekildeki gibidir.
 % \begin{sidewaysfigure}
  %  \larger
    \begin{figure}
      \begin{align*}
        &        \xymatrix@C=1em{&\gpgen1\ar[dddr]\ar[dl]&\\
          \gpgen{\sigma^2\tau^{3k}}\ar[d]&&\\
          \gpgen{\sigma\tau^k}\ar[ddr]&&\\
          &&\gpgen{\tau}\ar[dl]\\
          &\gpgen{\sigma,\tau}&}&
        &        \xymatrix@C=2pt{&\Q(\rho,\zeta)\ar@{<-}[dddr]^5\ar@{<-}[dl]_2&\\
          \Q(\zeta^{-k}\cdot\rho,\zeta+\zeta^4)\ar@{<-}[d]_2&&\\
          \Q(\zeta^{-k}\cdot\rho)\ar@{<-}[ddr]_5&&\\
          &&\Q(\zeta)\ar@{<-}[dl]^4\\
          &\Q&}
      \end{align*}
      
      \caption{$X^5-d$ i\c cin Galois e\c slemesi}
      
    \end{figure}
    
%  \end{sidewaysfigure}
  \end{example}

  \begin{exercise}
    $\Q$ \"uzerinde $X^6-2$ polinomunun par\c calan\i\c s cisminin
    t\"um altcismilerini bulun.
  \end{exercise}

\end{document}
